Simetría y proporción: ejes, escalas y figuras semejantes

Qué es un eje de simetría y cuántos tiene cada figura

Un eje de simetría es una línea que divide una figura en dos mitades que son reflejo exacto una de la otra. La prueba es doblar: si al doblar por esa línea las mitades coinciden, es un eje. Dicho de otra forma, si una figura coincide exactamente con su imagen reflejada al superponerlas, es simétrica respecto a ese eje.

Estos son los números que conviene memorizar:

• Cuadrado: 4 ejes. Dos pasan por la mitad de los lados (uno vertical y uno horizontal) y dos por las diagonales.
• Triángulo equilátero: 3 ejes, cada uno desde un vértice hasta el punto medio del lado opuesto.
• Polígono regular en general: tantos ejes como lados.
• Círculo: infinitos ejes, porque cualquier línea que pase por su centro lo divide en dos mitades iguales.
• Rectángulo que no es cuadrado: 2 ejes.

Preguntas tipo POMA: el rectángulo y las letras

El rectángulo. Un rectángulo que no es cuadrado tiene dos ejes de simetría: el vertical y el horizontal, que pasan por la mitad de sus lados. Las diagonales no son ejes. Compruébalo con una hoja de papel tamaño carta: si la doblas por la diagonal, las esquinas no coinciden y sobra un pedazo.

Relacionado: si te piden una figura con un solo eje vertical y ningún eje horizontal, piensa en un triángulo isósceles (que no sea equilátero) con la punta hacia arriba, un corazón o la letra A. Se ven iguales de izquierda a derecha, pero no de arriba abajo.

Las letras. ¿Qué letra tiene un eje de simetría vertical: la M o la E? La M. La E tiene eje, pero horizontal, no vertical. Letras como A, M, T, U, V, W, Y, H, O y X se ven iguales al reflejarse de izquierda a derecha. Letras como F, G, J, L, P, R o Z no tienen eje vertical. El truco es imaginar la letra frente a un espejo: si se lee igual, tiene eje vertical.

Simetría rotacional: 360 entre el orden

Una figura tiene simetría rotacional de orden 4. ¿Cada cuántos grados se ve igual? Cada 90°. La fórmula es dividir 360 entre el orden: 360 ÷ 4 = 90°. El cuadrado tiene orden 4. El triángulo equilátero tiene orden 3, así que se ve igual cada 120°.

La trampa es dividir 180 entre 4 y responder 45°. Una vuelta completa son 360°, no 180°.

Proporción y escala: se multiplica, no se suma

Un triángulo tiene lados de 3, 4 y 5 cm. Con una ampliación de escala 2, sus lados miden 6, 8 y 10 cm: todos se multiplican por el mismo número. La trampa es sumar 2 a cada lado y obtener 5, 6 y 7, lo que cambia la forma del triángulo.

Otro caso: un rectángulo de 4 por 6 es proporcional a otro cuyo largo mide 9. ¿Cuánto mide el ancho? Primero halla el factor dividiendo el lado nuevo entre el original: 9 ÷ 6 = 1.5. Después aplica ese mismo factor al otro lado: 4 × 1.5 = 6 cm.

Dos figuras proporcionales tienen los mismos ángulos; solo cambian las medidas de los lados. Por eso un triángulo ampliado al doble conserva exactamente sus ángulos. Eso sí: cuando los lados se duplican, el área se multiplica por 4, no por 2.

Preguntas frecuentes

¿Cuántos ejes de simetría tiene un rectángulo?

Dos, si no es cuadrado: el vertical y el horizontal. Sus diagonales no son ejes, porque al doblar por ellas las mitades no coinciden.

¿Cómo calculo cada cuántos grados se repite una figura con simetría rotacional?

Divide 360 entre el orden. Orden 4 da 90° y orden 3, como el triángulo equilátero, da 120°.

Si duplico los lados de una figura, ¿qué pasa con el área?

Se multiplica por 4, no por 2. Los ángulos, en cambio, se quedan exactamente iguales.