Conteo de figuras superpuestas sin que se te escape ninguna

El sistema de tres reglas

Con estas tres reglas el conteo deja de depender de la vista:

• Dibuja la figura en tu borrador, aunque sea rápido y feo.
• Numera cada región a medida que la cuentas, para no contar dos veces la misma.
• Lee bien qué te piden contar: no es lo mismo «regiones pequeñas» que «todos los triángulos posibles», ni «dentro del cuadrado» que «en total».

El truco de la pizza: líneas que se cruzan en el centro

Cuando hay líneas que pasan por el centro de una figura, de lado a lado, piensa en cortes de pizza. Cada corte por el centro agrega dos pedazos: un corte da 2 pedazos, dos cortes dan 4 y tres cortes dan 6.

Pregunta tipo POMA: un cuadrado está dividido por sus dos diagonales, que se cruzan en el centro. ¿Cuántos triángulos pequeños se forman? Cuatro: dos cortes por el centro, cuatro pedazos. La trampa es el 8, que sale si además cuentas los triángulos grandes formados por dos pedazos juntos; pero la pregunta pide solo los pequeños.

Un triángulo equilátero con sus tres medianas (cada una va de un vértice al punto medio del lado opuesto y todas se cruzan en el centro) queda dividido en seis triángulos pequeños. Y un hexágono regular con sus tres diagonales principales, de vértice a vértice opuesto, también forma seis triángulos, todos equiláteros.

Círculos que se cruzan

Dos círculos se superponen parcialmente. Sin contar el fondo de afuera, ¿cuántas regiones se forman? Tres: la parte que es solo del primero, la parte que es solo del segundo y la zona compartida del medio. La trampa es responder dos, porque estarías contando círculos y no regiones.

Con tres círculos, como un diagrama de Venn de tres conjuntos, se forman siete regiones: tres zonas donde está un solo círculo, tres donde se cruzan dos y una zona central donde están los tres. 3 + 3 + 1 = 7.

Un cuadrado con un círculo centrado que toca sus cuatro lados deja libres las cuatro esquinas. Dentro del cuadrado hay cinco regiones: las cuatro esquinas y la zona del círculo.

Y si hay tres círculos pequeños dentro de uno grande, tocándose entre sí y tocando al grande, y te piden contar solo los tres pequeños y la región central entre ellos, la respuesta es cuatro. Las tres zonas de afuera, pegadas al círculo grande, no entran: fíjate siempre en lo que la pregunta excluye.

Intersecciones, estrellas y conteo por tamaños

Cuatro rectas se cruzan de modo que cada una corta a las otras tres exactamente una vez, sin puntos repetidos. ¿Cuántas intersecciones hay? Seis, porque cada par de líneas se cruza una vez. Cuenta pares sin repetir: la línea 1 con la 2, la 3 y la 4 son tres pares; la 2 con la 3 y la 4, dos más; la 3 con la 4, uno más. 3 + 2 + 1 = 6. El error típico es multiplicar 4 × 3 y decir 12, contando cada cruce dos veces.

Dos triángulos equiláteros superpuestos, uno rotado 60° respecto al otro, forman una estrella de seis puntas: sobresalen seis puntas. Un cuadrado con un rombo inscrito, cuyos vértices tocan el punto medio de cada lado, deja cuatro triángulos en las esquinas.

Si te piden todos los triángulos y no solo los pequeños, cuenta por tamaños: primero los de una sola región, luego los formados por dos regiones juntas, y así hasta la figura completa. Por ejemplo, en un triángulo dividido en tres pedazos por dos líneas que bajan desde el vértice superior hasta la base, hay tres triángulos de una región, dos de dos regiones y uno completo: seis en total.

Preguntas frecuentes

¿Cuántos triángulos se forman al trazar las dos diagonales de un cuadrado?

Cuatro triángulos pequeños. Si cuentas también los grandes formados por dos pequeños juntos, son ocho, pero lee bien si la pregunta pide solo los pequeños.

¿Cuántas regiones forma un diagrama de Venn de tres círculos?

Siete: tres zonas de un solo círculo, tres de dos círculos y una central de los tres, sin contar el fondo.

¿Cómo cuento las intersecciones de varias rectas?

Cuenta pares de líneas sin repetir. Con cuatro rectas que se cortan todas entre sí en puntos distintos hay 3 + 2 + 1 = 6 intersecciones, no 12.