Cubos, pirámides y cilindros: vistas y perspectivas

Los tres números del cubo y la fórmula de Euler

Un cubo tiene 6 caras (los cuadrados), 8 vértices (las esquinas) y 12 aristas (los bordes donde se unen dos caras). Para recordarlos sin memorizar, piensa en una caja:

• Caras: arriba, abajo, frente, atrás, izquierda y derecha. Son 6.
• Vértices: 4 esquinas arriba y 4 abajo. Son 8.
• Aristas: 4 bordes arriba, 4 abajo y 4 verticales que los unen. Son 12.
• Como tiene 6 caras, su desarrollo plano, la red que se dobla para formarlo, tiene 6 cuadrados.
• Fórmula de Euler: en todo poliedro convexo, como los del examen, C + V − A = 2. En el cubo, 6 + 8 − 12 = 2.

Preguntas tipo POMA resueltas

Las vistas. Si observas un cubo directamente desde arriba, ¿qué forma ves? Un cuadrado, porque desde arriba solo se ve la cara superior. La trampa es el hexágono: esa silueta aparece si miras el cubo de frente a una esquina, en diagonal. Un cilindro visto desde uno de sus extremos, mirando a lo largo de su eje, es un círculo, como una lata de refresco vista desde arriba; visto de lado, es un rectángulo.

El dado. En un dado estándar las caras opuestas suman 7. Si la cara superior muestra 3, abajo está el 4, porque 3 + 4 = 7. La trampa es pensar en el 6, como si abajo estuviera siempre el número más alto; el 6 está frente al 1. Los pares opuestos son 1 con 6, 2 con 5 y 3 con 4. Este dato también sirve para los dados girados: dos caras opuestas nunca se ven al mismo tiempo.

La pirámide. Una pirámide de base cuadrada tiene 5 caras: la base cuadrada más 4 caras triangulares. El error común es contestar 4 y olvidar la base.

Prismas, giros y cómo verificar con Euler

Una caja con dos caras cuadradas y cuatro rectangulares se llama prisma de base cuadrada o prisma cuadrangular. Si todas sus caras fueran cuadradas, sería un cubo.

Si giras un cubo 90° sobre un eje vertical, como una peonza, la cara que estaba al frente pasa a un lado, a la derecha o a la izquierda según el sentido del giro. La de arriba y la de abajo siguen en su lugar.

Usa la fórmula de Euler para comprobar tus conteos en otros sólidos. La pirámide de base cuadrada tiene 5 caras, 5 vértices (los 4 de la base más la punta) y 8 aristas (4 de la base y 4 que suben a la punta): 5 + 5 − 8 = 2. Un prisma triangular, con forma de carpa de campaña, tiene 5 caras, 6 vértices y 9 aristas: 5 + 6 − 9 = 2. Si la fórmula no te da 2, contaste mal.

Cono y esfera: los sólidos curvos

Un cono visto desde arriba se ve como un círculo con un punto en el centro, y visto de frente, como un triángulo. Una esfera, desde cualquier ángulo, siempre se ve como un círculo.

El cilindro, el cono y la esfera no son poliedros, porque tienen superficies curvas. Con ellos la fórmula de Euler no aplica.

Preguntas frecuentes

¿Cuántas caras, vértices y aristas tiene un cubo?

6 caras, 8 vértices y 12 aristas. Puedes comprobarlo con la fórmula de Euler: 6 + 8 − 12 = 2.

¿Qué número queda abajo en un dado si arriba hay un 3?

El 4. En un dado estándar las caras opuestas suman 7: 1 con 6, 2 con 5 y 3 con 4.

¿Cuántas caras tiene una pirámide de base cuadrada?

Cinco: la base cuadrada y cuatro triángulos. También tiene 5 vértices y 8 aristas.