Factorización y productos notables: reconoce cada caso a simple vista

Primero, siempre, el factor común

Busca lo que se repite en todos los términos. En 6x³ + 9x², el mayor número que divide a 6 y a 9 es 3, y la menor potencia de x es x². El factor común es 3x², y queda 3x²(2x + 3).

Verifica multiplicando: 3x² · 2x = 6x³ y 3x² · 3 = 9x². Coincide con la expresión original, así que está bien.

Diferencia de cuadrados y trinomio cuadrado perfecto

La diferencia de cuadrados es a² − b² = (a + b)(a − b): una suma por una resta de las raíces. Con coeficientes funciona igual: en 4x² − 25 las raíces son 2x y 5, y queda (2x + 5)(2x − 5). Ojo: una suma de cuadrados como x² + 9 no se factoriza con números reales; si ves una opción que la factoriza, es trampa.

El producto notable más importante es (a + b)² = a² + 2ab + b². El error más común es decir que es solo a² + b²: falta el término del medio. Para reconocer un trinomio cuadrado perfecto al revés, comprueba que el primero y el último sean cuadrados y que el del medio sea el doble del producto de sus raíces. En 9x² − 12x + 4 las raíces son 3x y 2, y 2 · 3x · 2 = 12x; como el signo del medio es menos, el resultado es (3x − 2)².

Trinomio x² + bx + c y los cubos

Para un trinomio de la forma x² + bx + c busca dos números que multiplicados den c y sumados den b. Los cubos tienen sus propias fórmulas:

• Diferencia de cubos: a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²). Por ejemplo, x³ − 8 = (x − 2)(x² + 2x + 4).
• Suma de cubos: a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²).

Preguntas tipo POMA resueltas

Pregunta 1. Factoriza x² − 9. Son dos cuadrados restándose: la raíz de x² es x y la de 9 es 3. Resultado: (x + 3)(x − 3). La opción tentadora es (x − 3)², pero al desarrollarla aparece un término del medio, −6x, que no está en la expresión.

Pregunta 2. Factoriza x² + 6x + 9. El primero es el cuadrado de x, el último es el cuadrado de 3 y el del medio es 2 · x · 3 = 6x. Es un trinomio cuadrado perfecto: (x + 3)². La trampa es (x + 3)(x − 3), que da x² − 9.

Pregunta 3. Factoriza x² − 5x + 6. Busca dos números que multiplicados den 6 y sumados den −5: son −2 y −3. Resultado: (x − 2)(x − 3). Verifica: (−2)(−3) = 6 y (−2) + (−3) = −5. La trampa es (x + 2)(x + 3): el producto da 6, pero la suma da +5.

Casos combinados y la ruta para decidir

Si te piden factorizar completamente, sigue hasta que no se pueda más. x⁴ − 16 es diferencia de cuadrados: (x² + 4)(x² − 4). Pero x² − 4 se vuelve a factorizar en (x + 2)(x − 2), así que la factorización completa es (x² + 4)(x + 2)(x − 2).

Agrupar también ayuda: en x² + 2x + 1 − y², los tres primeros términos son (x + 1)², así que tienes una diferencia de cuadrados: (x + 1 + y)(x + 1 − y).

La ruta para cualquier ejercicio: primero factor común; luego cuenta los términos. Con dos términos piensa en diferencia de cuadrados o en suma o diferencia de cubos. Con tres, en cuadrado perfecto o en el caso de producto y suma. Y siempre verifica multiplicando.

Preguntas frecuentes

¿Cómo se factoriza x² − 49?

Es una diferencia de cuadrados: la raíz de x² es x y la de 49 es 7. Queda (x + 7)(x − 7).

¿(a + b)² es igual a a² + b²?

No. (a + b)² = a² + 2ab + b². Olvidar el término del medio, 2ab, es el error más común de este tema.

¿Se puede factorizar x² + 9?

No con números reales. La suma de cuadrados no se factoriza; solo la diferencia de cuadrados.