Funciones y gráficas: pendiente, dominio y parábolas

Qué es una función y cómo evaluarla

Una relación es función si a cada valor de x le corresponde un único valor de y. En una tabla, si ves la misma x con dos y diferentes, no es función. En una gráfica usa la prueba de la línea vertical: si alguna línea vertical corta la gráfica en dos puntos o más, no es función.

Evaluar es sustituir. Si f(x) = 2x + 3, entonces f(4) = 2 · 4 + 3 = 11. Si f(x) = x² − 4, entonces f(3) = 9 − 4 = 5.

La recta y = mx + b

En la forma y = mx + b, m es la pendiente, el número que acompaña a la x, y b es la ordenada al origen, el valor donde la recta corta el eje y. En y = 5x − 2 la ordenada al origen es −2; si respondes 5, diste la pendiente. Y una recta que corta el eje y en −5 con pendiente 2 tiene la ecuación y = 2x − 5.

La pendiente se calcula con dos puntos: cambio en y entre cambio en x, (y₂ − y₁) ÷ (x₂ − x₁). Piensa en «subir sobre avanzar».

• Pendiente positiva: la recta sube de izquierda a derecha.
• Pendiente negativa: la recta baja.
• Pendiente cero: la recta es horizontal.
• Recta vertical: no tiene pendiente definida, porque no avanzas nada y no se puede dividir entre cero.

Preguntas tipo POMA resueltas

Pregunta 1. En y = −3x + 7, ¿cuál es la pendiente? Es −3, el número que acompaña a la x. La trampa es responder 7, que es la b. Y no olvides el signo menos.

Pregunta 2. Una recta pasa por (0, 4) y (2, 0). ¿Cuál es su pendiente? Cambio en y: 0 − 4 = −4. Cambio en x: 2 − 0 = 2. Pendiente: −4 ÷ 2 = −2. Tiene sentido, porque la recta baja de 4 a 0 mientras avanza hacia la derecha. El error común es poner las x arriba y las y abajo, lo que da −1/2. Esa recta es y = −2x + 4: corta el eje y en 4 y el eje x en 2.

Pregunta 3. ¿Cuál es el dominio de f(x) = 1/(x − 3)? El dominio son todos los valores de x que puedes meter en la máquina. Si x = 3, el denominador da 0, y dividir entre cero no está definido. El dominio son todos los números reales excepto el 3. La trampa es quitar el −3: con −3, el denominador da −6, y eso sí se puede.

Pregunta 4. Si f(x) = 3x − 1 y g(x) = x + 2, ¿cuánto es f(g(2))? Se resuelve de adentro hacia afuera: g(2) = 2 + 2 = 4, y luego f(4) = 3 · 4 − 1 = 11. La trampa es hacer f primero: f(2) = 5 y g(5) = 7, pero eso es g(f(2)), no f(g(2)). Es como abrir una caja dentro de otra: empiezas por la de adentro.

La parábola

Las funciones lineales dan rectas; las cuadráticas dan parábolas. La gráfica de f(x) = x² es una curva en forma de U que abre hacia arriba, con el vértice en el origen.

En la forma general ax² + bx + c, si a es positivo la parábola abre hacia arriba, y si es negativo abre hacia abajo. El vértice está en x = −b/(2a). Por ejemplo, en y = x² − 4x + 3, b = −4, así que −b = 4, y 4 ÷ 2 = 2. Sustituyes x = 2: 4 − 8 + 3 = −1. El vértice es el punto (2, −1). Esa parábola corta el eje y en 3, que es la c, y el eje x donde y vale 0: en 1 y en 3.

Preguntas frecuentes

¿Cómo recuerdo la fórmula de la pendiente?

Y sobre x, como «subir sobre avanzar»: el cambio en y va arriba y el cambio en x va abajo. Si los inviertes, obtienes otro número y caes en la trampa.

¿Cómo sé si una gráfica es una función?

Con la prueba de la línea vertical: si alguna línea vertical corta la gráfica en dos puntos o más, no es función, porque una misma x tendría dos valores de y.

¿Hacia dónde abre una parábola?

Depende del coeficiente a de x²: si es positivo abre hacia arriba y si es negativo abre hacia abajo. El vértice está en x = −b/(2a).