Sistemas de ecuaciones: reducción, sustitución y un truco rápido

El truco de suma y diferencia

Si te dan la suma y la diferencia de dos números, el mayor es la suma más la diferencia, entre dos, y el menor es la suma menos la diferencia, entre dos. Con suma 24 y diferencia 8: el mayor es (24 + 8) ÷ 2 = 16 y el menor es (24 − 8) ÷ 2 = 8. Verifica: 16 + 8 = 24 y 16 − 8 = 8.

Funciona porque, si sumas las dos ecuaciones, (x + y) + (x − y), la y se cancela y te queda 2x = suma + diferencia. Eso es precisamente el método de reducción.

Reducción: cuándo sumar y cuándo restar

El objetivo de la reducción es eliminar una variable combinando las ecuaciones. Si la variable tiene coeficientes opuestos, sumas. En 3x − 2y = 4 y x + 2y = 12, al sumar los 2y se cancelan: 4x = 16 y x = 4.

Si la variable tiene el mismo coeficiente y el mismo signo en las dos ecuaciones, al sumar no se cancela: entonces restas. Con x + y = 7 y 2x + y = 11, restas la primera de la segunda y te queda x = 4.

Otro ejemplo: 2x + y = 11 y x − y = 1. Al sumar, 3x = 12 y x = 4. Sustituyes en la segunda: 4 − y = 1, así que y = 3. Fíjate en qué variable te piden; si preguntaban por y, la respuesta es 3, no 4.

Sustitución: cuando una variable ya está despejada

Si una ecuación ya te da una variable despejada, sustitúyela en la otra. Con 4x + y = 18 y y = 2x, cambias la y: 4x + 2x = 18, 6x = 18 y x = 3. Entonces y = 6.

Preguntas tipo POMA resueltas

Pregunta 1. Si x + y = 10 y x − y = 4, ¿cuánto vale x? Suma las ecuaciones: 2x = 14, x = 7. Entonces y = 3. La trampa es marcar 3, que es el valor de y, no de x.

Pregunta 2. Si x = 3y y x + y = 20, ¿cuánto vale y? Cambia la x por 3y: 3y + y = 20, 4y = 20 y y = 5. Entonces x = 15. Si marcaste 15, respondiste x.

Pregunta 3. Dos camisas y tres pantalones cuestan RD$2,600. Una camisa y un pantalón cuestan RD$1,000. ¿Cuánto cuesta un pantalón? Duplica la segunda situación: dos camisas y dos pantalones costarían RD$2,000. Compárala con la primera: la única diferencia es un pantalón más, y la diferencia de precio es RD$600. El pantalón cuesta RD$600 y la camisa RD$400. Es reducción sin escribirla formalmente; en la POMA conviene pensar primero si puedes comparar las situaciones directamente.

Tipos de sistemas y su gráfica

Cada ecuación lineal es una recta, y la solución del sistema es donde se cruzan:

• Compatible determinado: una única solución; las rectas se cortan en un punto.
• Compatible indeterminado: infinitas soluciones; las rectas son iguales.
• Incompatible: sin solución; las rectas son paralelas distintas y nunca se cruzan.

Preguntas frecuentes

Si x − y = 2 y x + y = 14, ¿cuánto vale y?

Con el truco: el mayor, x, es (14 + 2) ÷ 2 = 8, y el menor, y, es (14 − 2) ÷ 2 = 6. Verifica: 8 + 6 = 14 y 8 − 6 = 2. La respuesta es y = 6.

¿Qué método conviene usar en el examen?

Si una variable ya está despejada, sustitución. Si una variable tiene coeficientes opuestos, suma las ecuaciones; si son iguales, réstalas. Y si te dan suma y diferencia, usa el truco directo.

¿Qué significa que dos rectas sean paralelas en un sistema?

Que nunca se cruzan, así que no hay ningún punto que cumpla las dos ecuaciones: el sistema es incompatible y no tiene solución.