Volúmenes de cubos, prismas, cilindros, conos y esferas
Si llenas un cono con arena y lo vacías en un cilindro de la misma base y la misma altura, necesitas exactamente 3 conos para llenarlo. Ese dato, que parece magia, te da de una vez las fórmulas del cono y de la pirámide. En este repaso de Razonamiento Matemático para la POMA vemos los volúmenes de los sólidos básicos, con ejemplos resueltos y las unidades correctas.
Practicar el POMA gratisLa idea central: base por altura
Casi todas las fórmulas de volumen salen de una idea: área de la base por altura. Los prismas y los cilindros tienen la misma forma de abajo hacia arriba, así que su volumen es base × altura. Un prisma rectangular de 5 × 3 × 2 cm tiene una base de 15 cm² que, por 2 de altura, da 30 cm³. Una caja de 2 × 2 × 2 m tiene 8 m³.
El cubo es un prisma con todas las aristas iguales, así que su volumen es a³. Con arista 4: 4 × 4 × 4 = 64 cm³. Y al revés: si un cubo tiene 125 cm³, su arista es la raíz cúbica de 125, que es 5, porque 5 × 5 × 5 = 125.
El cilindro también es base por altura, solo que su base es un círculo: V = π · r² · h.
Lo que termina en punta lleva un tercio
Como el cono cabe tres veces en el cilindro de igual base y altura, su volumen es un tercio del cilindro: V = (1/3) · π · r² · h. Con la pirámide pasa lo mismo: V = (1/3) · área de la base · altura. Por ejemplo, una pirámide con base de 16 cm² y altura 9 cm: 16 × 9 = 144, y entre 3, 48 cm³.
La esfera tiene su propia fórmula: V = (4/3) · π · r³. Truco de cálculo: primero divide entre 3 y después multiplica; así los números quedan más pequeños.
Preguntas tipo POMA resueltas
Pregunta 1. ¿Cuál es el volumen de un cilindro de radio 3 cm y altura 10 cm? Usa π = 3.14. 3² = 9; 9 × 3.14 = 28.26; por 10 de altura, 282.6 cm³. La trampa es usar el diámetro, 6, en lugar del radio, lo que da 1,130.4. Si te dan el diámetro, divídelo entre 2 primero.
Pregunta 2. Volumen de un cono de radio 3 cm y altura 6 cm. 3² = 9; × 3.14 = 28.26; × 6 = 169.56; entre 3, 56.52 cm³. La trampa es olvidar el tercio: 169.56 es el volumen del cilindro, no del cono.
Pregunta 3. Volumen aproximado de una esfera de radio 6 cm. 6³ = 216. Cuatro tercios de 216: entre 3 da 72 y por 4 da 288. Por 3.14: 904.32 cm³. La trampa es 4πr², que da 452.16, pero esa es el área de la superficie, no el volumen.
Unidades y razonamiento inverso
El volumen siempre se mide en unidades cúbicas: cm³, m³. Si una opción dice cm², eso es área, no volumen. Y recuerda que 1 litro = 1,000 cm³.
Conocer la fórmula también te deja despejar cualquier dato. Si un cilindro tiene un volumen de 314 cm³ y un radio de 5 cm, con π = 3.14 calculas π × 25 = 78.5, y 314 ÷ 78.5 = 4: la altura es 4 cm.
Consejo de examen: escribe las fórmulas de volumen en una esquina del borrador apenas empiece la prueba, así no dependes de la memoria bajo presión.
- Prismas y cilindros: base × altura.
- Conos y pirámides: un tercio de base × altura.
- Esfera: (4/3)πr³.
- Siempre en unidades cúbicas.
Preguntas frecuentes
Si duplico la arista de un cubo, ¿se duplica su volumen?
No. Se multiplica por 8, porque 2³ = 8. Cada una de las tres dimensiones se duplica.
¿Por qué el cono lleva un tercio?
Porque hacen falta exactamente 3 conos de arena para llenar un cilindro de la misma base y la misma altura. Lo mismo ocurre con la pirámide y el prisma: lo que termina en punta lleva un tercio.
¿4πr² es el volumen de la esfera?
No. 4πr² es el área de su superficie. El volumen es (4/3)πr³ y se mide en unidades cúbicas.